分段函数连续问题

分段函数的连续性怎么判定？

首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。

要作分式函数的图像，首先应对函数式进行化简，再作函数的图像，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致。

扩展资料：

由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。

分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

如何证明一个分段函数是连续函数

看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法） 然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。 分段点处的左极限用左边的函数式做， 分段点处的右极限用右边的函数式做。

通需判断段点左边及右边函数值否相等且等于该点函数值即：

比如：

x>=0，f(x)=x^2 1。

x<0，f(x)=sinx。

x=0 ，(即0点右边)，f(0 )=0 1=1。

x=0-，(即0点左边)，f(0-)=sin0=0。

两者等所x=0处连续。

也可以用导数极限进行判断。导数极限定理: 设函数f(x)在点a的某邻域U(a)内连续，在U(a)的空心邻域内可导，且当x--->a时,导函数的极限存在，那么：f(x)在点a处可导，且等于[x-->a时，f(x)的导函数的极限]。

扩展资料：

连续函数的性质定理：

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。

1、有界性

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

)在[a,b]上有界[1]。

2、最值性

闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。

所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。

3、介值性

若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。

这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：

（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。

证明：零点定理可以利用闭区间套定理：如果{[an,bn]}是一个闭区间套，那么存在唯一实数ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。

介值定理可以构造辅助函数来证明。

令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之间的任一实数，则g(x)在[a,b]上连续。

不妨设A0，即g(x)在两端点处的函数值异号。根据零点定理，在开区间(a,b)上至少存在一点c，使g(c)=f(c)-C=0。∴f(c)=C，c∈(a,b)。

对于B

4、一致连续性

闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。

所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。

证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。

参考资料来源：百度百科-连续函数

参考资料来源：百度百科-分段函数

怎么证明分段函数在定义域内是连续的？

设x0为任意点，只要证明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左极限=右极限=函数值）。

证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0)，闭区间还需要证明在端点处单侧连续。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的。

又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

反函数连续性：

f(x）是函数的符号（y），f代表法则，y它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。

f是对应法则的代表，它可以由f(x）的解析式决定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。

分段函数在分段点是否连续的条件

1、左极限=右极限=该点函数值，则连续。

2、是为了防止两端的值不等于函数值，这样就有两个跳跃间断点，不连续，如果两端连续了，在闭区间就连续。

连续的充分必要条件是：函数在该点的极限等于函数在该点的值。

扩展资料

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。

分段函数在分段点处连续性问题

a=2,b=3. 连续的充分必要条件是:函数在该点的极限等于函数在该点的值。 这个函数处处有定义，于是只需验证极限的存在性。 极限存在的充分必要条件是:左右极限都存在，且相等。 在x=0,左极限等于a，右极限等于2,所以a=2. 在x=1,左极限等于3，右极限等于b，所以b=3.

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