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变上限积分在被积函数不连续点处求导问题

软件 2023-03-14

变上限积分，上限为x等于被积函数的不连续点那么它还可以求导吗

如果被积的分段函数，分段点是可去间断点或跳跃间断点的话，那么变上限定积分函数将是连续的。但是这个变上限定积分函数在被积函数分段点处的左右导数将不相等，即在被积函数分段点处不可导。例如f（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）这个分段函数其变上限定积分函数∫（0-x）f（t）dt就等于|x|这个函数而|x|在f（x）的分段点x=0处是连续但不可导的。

变上限积分在端点处不连续可以求导吗？

根据微积分基本定理，不一定可以，多数不可以。并且，如果端点处是第一类间断点的话，一定不可导，第二类间断点的话，如果无穷间断点，变上限积分不存在，因为不可积。其他情况需要讨论可积性和可导性。

变上限积分，上限x等于被积函数的不连续点那么它还可以求导吗

只要不是趋于无穷大的不连续点一个点的取值不会影响整个积分函数的当然可以进行求导

变限积分被积函数有间断点时可导吗

被积函数连续，积分限可导，则变限积分可导。

F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt

F(x) = x∫(a,x) f(t) dt

F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]

= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)]，下限a的导数是0，所以整体都会变为0

= (1/x)F(x) + xf(x)

求导注意事项：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：

第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；

第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

原函数存在定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

变上限积分求导法则

变上限积分求导如下：

当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值。

自变量增量区间为某个函数时，此函数也需要进行求导方可平衡。

变上限积分求导公式：即∫f（t）dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g（x）=∫f（t）dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

现在用导数定义求g'（x），根据定义，g'（x）=lim【∫f（t）dt-∫f（t）dt】/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f（t）dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性）。

根据积分中值定理，存在ξ属于（x，x+h），使得∫f（t）dt/h=f（ξ）h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf（ξ）h/h=f（x），至此证明了g'（x）=f（x）。

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